“Математика — це важко, але без математиків країні, що воює, не обійтись”

Катерина Терлецька – доктор фізико-математичних наук у галузі механіки, досліджує внутрішні хвилі океану, курує напрямок математики в Малій академії наук, бере участь в освітній реформі, навчає вчителів тому, як зробити для учнів математику привабливою. Сьогодні розмова медіа НУШ з Катериною Терлецькою піде саме про математику – чому вона так важлива і сьогодні, і завтра, і чому без неї не може обійтись НМТ.

Відверто поговоримо з Катериною Терлецькою про таке:

• базові тести з математики і про те, чому вони викликають упереджене ставлення в суспільстві;
• прогалини в українській системі освіти й різницю в рівні знань міських та сільських школярів;
• шляхи подолання освітніх втрат та популяризацію математики через переорієнтування з академічності на практичність;
• що таке математична тривога та як її подолати.

Як працюють шаблони та мотиваційна складова

Якщо учень не може скласти базовий тест з математики, це проблема тесту чи системи освіти?

Звісно, це не проблема тесту, він відповідає тій освітній програмі й темам, які учень вивчав під час занять з математики. Тож, це проблема нашої освітньої системи, яка зараз знаходиться в дуже важкому стані. Одні з ключових причин - війна, пандемія, дистанційне навчання. Це призвело до освітніх втрат, на які ми не можемо закрити очі, тим більше, що ці втрати фіксуються не тільки нашими тестами, а й PISA (Programme for International Student Assessment, міжнародне дослідження якості освіти, яке координує Організація економічного співробітництва та розвитку — ред.). Всі ці дослідження свідчать про постійне падіння знань. Особливо шокує величезна, я би сказала, загрозлива різниця (в 90 балів за шкалою PISA, що відповідає приблизно 4,5 року навчання) у рівні математичного навчання у великих містах і маленьких населених пунктах.

В містах, попри всі негаразди останніх років, показники не катастрофічні, чого не скажеш про села.

Щодо цьогорічного тесту з математики, я дивилася багато варіантів і вважаю, що він не складніший, ніж в попередні роки. Але я побачила бажання авторів зробити задачі на розуміння і, думаю, саме вони могли викликати певні труднощі. Тут є цікавий момент: якщо учень розуміє суть якогось математичного терміну чи значення, то ця задача для нього є достатньо легкою, а якщо він натренувався на певних алгоритмах, то з легким, але нестандартним завданням міг не впоратись.

Не зорієнтувалися, мабуть ті, хто звик працювати по шаблону: перша дія, друга, третя. Учні в Україні займаються по різним програмам і підручникам. В одних така задача могла бути, в інших можливо, ні, а внаслідок — такі нюанси. Але якщо дитина розуміє базові поняття: що таке інтеграл, похідна, цього б не мало виникати.

Які є можливості по подоланню освітніх втрат?

Для цього існує велика кількість програм. Дуже багато громадських і благодійних організацій за підтримки донорів розробляють різні методики надолуження прогалин у знаннях, що виникли через переривання навчання, і впроваджують їх спільно з Міністерством освіти і науки України. Зокрема, багато курсів є у МОН, а також громадських організацій – “Смарт освіта”, “Освіторія”, savED, “Навчай для України” та інших.

Ці методики та підходи мають свою специфіку для різних предметів і немає якогось загального рецепту або курсу. Долати освітні втрати, особливо з математики, можна тільки точково, індивідуально, бо в кожній дитини є свої прогалини.

Але є ще загальна математична проблема, про яку треба говорити — вивчення математики немає мотиваційної складової.

Зазвичай діти питають: “А навіщо мені ця математика? Де я можу застосувати ті знання”. До речі, такі ж питання студенти і школярі задають не тільки в Україні, а й в інших країнах. В Європі на них вже є відповідь — там змінили сам процес вивчення математики, зробили його більш практично орієнтованим, спрямованим на розв’язання задач, які виникають у звичайному житті, побуті, під час професійної діяльності. Наповнення математичного курсу такими прикладними задачами стимулює учнів до опанування математики як предмета. Але якщо ми викладаємо математику суто академічно, занурюючись в неї як в науку, тренуючи майстерність в розв’язанні різних, дуже специфічних задач, то цей предмет буде цікавий тільки 5% учнів. Решта втрачає мотивацію і просто не хоче займатися математикою. До речі, це тенденція всесвітня.

Безумовно, є певна група людей, яка отримує задоволення від розв’язування задач і інтелектуальних викликів. Вони, як в спорті, прагнуть бути першими, найрозумнішими, винаходити найкрасивіше рішення, витрачаючи на це величезну кількість ресурсу. Але для багатьох сучасних дітей важливим мотиватором є розуміння практичної цінності знань і того, як вони можуть вплинути на майбутні можливості та професійну реалізацію.

Питання практичності дуже гостро постало перед математичною освітою вже наприкінці 20 століття. І багато країн вже переналаштувалися. Візьмемо нідерландську математику, яку мені радять закордонні колеги, що займаються математичною освітою. Завдяки унікальній методиці Realistic Mathematics Education вона базується на реальному житті.

Залежно від майбутньої спеціалізації учнів вивчення математики в Нідерландах розділено на кілька профілів:

1. Основні: математика А — для тих, хто не буде використовувати математику як науку в подальшому житті, цій групі дають практичні знання про абсолютно прикладні речі. Така математика орієнтована на соціальні, економічні та гуманітарні напрями й роботу з прикладними задачами: даними, графіками, статистикою, фінансовими розрахунками, моделями зростання. Наприклад, якщо ми говоримо про шум і розповсюдження звуку, це логарифмічна залежність, якщо про розрахунок складних відсотків банку - показникова функція, якщо про зростання популяції населення і все, що стосується демографії - експоненційна залежність.
2. Профіль, Б – це ті, хто буде застосовувати математику, як інструмент, в своїй професійній діяльності, винаходити на її основі складні моделі, розв’язувати інженерні задачі. Ці діти мають розуміти математику, як науку, усвідомлювати, як з одних теорем, знань з’являються інші. Так ось саме таку математику ВСІ українські учні вивчають у школі.

Між тим, людині, яка має орієнтуватися в світі, потрібен сучасний математичний апарат, той, який вона може застосувати прямо сьогодні, щоб порахувати відсотки в банку, обрати тарифний план, визначитися, який обрати варіант розрахунку: заплатити зараз чи розтермінувати платіж на 3-4 роки. Оце і є математика для життя, яку ми власне повинні максимально приносити в школу для того, щоб мотивувати учнів звернути увагу на цей предмет, бо він - інструмент успішного прийняття рішень, розв’язання проблем, які будуть постійно виникати у житті.

Українські тести в порівнянні з тими, що пропонують випускникам за кордоном, є достатньо простими

Якщо всі діти не можуть бути в профілі Б, може вже час змінити підходи у вивченні математики?

Однозначно! Традиційно ми вважали нашу математику самою класною. Бачимо як наші школярі, які потрапили до європейських країн, особливо в середній школі, в математиці найкращі, бо знають набагато більше, ніж їхні однолітки в європейських країнах. Тому що там на середній ланці освіти математика дуже проста і практична: розрахувати тарифний план, масштабувати рецепт на іншу кількість інгредієнтів. І ні у кого не виникне питання, де і для чого мені це знадобиться.

Ось така математика вивчається в більшості країн Євросоюзу. Звісно, дається ще й базова — приміром, учні мають навчитися застосовувати теорему Піфагора, розв’язувати квадратні рівняння та базові лінійні. Але більшість часу витрачають на постійні повторення абстрактних тем і розв’язання прикладних задач.

Ситуація починає змінюватися, коли учні переходять до старшої школи. Там вже є профільна орієнтація і розділення математики умовно на профілі А і Б. І ось на виході, після закінчення школи, якщо порівняємо старшокласника західної школи, який пішов в гімназію чи кудись далі отримувати освіту, і нашого учня, то різниця вже буде суттєва і не на користь українця. Тому що профільна школа орієнтується на тих, хто хоче знати математику, і дає більш фундаментальні, складні знання.

Для багатьох це буде несподіванкою, але наші тести в порівнянні з тими, що пропонують випускникам за кордоном, є достатньо простими. Французькі, німецькі, австрійські на багато складніші, ніж наш Національний мультіпредметний тест. Може тому у нас так багато 200-бальників з математики? За кордоном отримати максимальний бал практично неможливо.

Марафон НМТ — не стільки про знання, скільки про витривалість

Зараз в суспільстві триває дискусія щодо обов’язковості математики в НМТ, що його неможливо скласти без попередньої підготовки з репетитором, що рівень тестових завдань достатньо високий. Що ви думаєте з цього приводу?

Щодо Національного мультіпредметного тесту, на жаль, це жорсткий марафон і дуже складний іспит, який дітям дуже важко витримати. Дитина може розв’язати всі задачі, прекрасно орієнтується в предметі, але вона не спроможна фізично й психологічно в напрузі протягом чотирьох годин писати всі ці іспити. І це дійсно проблема.

Але коли мене питають, чи відповідає рівень НМТ шкільній програмі, я відповідаю: так, на 100%. Завдання не вимагають жодних додаткових знань. Тест з математики — достатньо простий. Якщо йдеться про отримання прохідного балу, то це дійсно якісь санітарні знання математики, обчислень, базових понять. Людина, яка вчилася і одержувала позитивні оцінки в старшій школі, має пройти цей бар’єр. Для того, щоб отримати 200 балів, звісно, треба знати більше - стереометричні факти й геометричні, вміти розв’язувати задачу з параметром. Це красиво, ці вміння показують майстерність в застосуванні різних математичних методів та інструментів, вимагає достатньо високого інтелектуального потенціалу.

Чи можна успішно скласти НМТ без репетитора, навчаючись у звичайній школі? В адекватних умовах — так, якщо нормально проходити навчальну програму. Але ситуація в країні наразі така, що ми не можемо гарантувати це нормальне навчання. Особливо в прифронтових регіонах. Якщо під час онлайн-уроків вчитель замість увімкнених камер бачить пусті квадратики, про яке повноцінне навчання може йти мова? А з того, що я чую від педагогів про сільські школи, можна зробити висновки, що дуже часто там взагалі навчання як слід не проводиться.

Але заклики скасувати обов’язковий іспит з математики це жахлива ідея. Треба навпаки — шукати і знаходити можливості для підвищення рівня навчання.

Чому після кожного НМТ виникають дискусії про “занадто складну математику”?

Математика й не може бути простою. Кажу це як людина, якій цей предмет спочатку давався достатньо легко, поки не потрапила в математичний клас і не побачила задачі рівня вступних екзаменів у виш. Дитиною я присвячувала математиці по кілька годин на день і це величезна праця, сенс якої не завжди був зрозумілий.

Вивчення мов, наприклад, теж системне і складне, але поїхавши за кордон, одразу розумієш, навіщо ти це робив. А ще можеш дивитися фільм на цій мові, або бути залученим в якісь події з нею пов’язані. А ось з вивченням математики ситуація дещо складніше: сам процес вимагає дуже багато ресурсу, є важким і не дуже подобається, а головне - ти не бачиш якогось прикладного аспекту, де можна застосувати набуті знання, отримати поза межами школи якісь переваги. Як наслідок, математику не люблять.

Часто вчителі щиро наголошують на важливості предмета, але не завжди мають достатньо інструментів, щоб показати його практичний сенс і зв’язок із реальним життям.

Тож виникають певні невідповідності в голові дітей — якщо математика така важлива, а вчитель навіть не може пояснити, де вона застосовується, і при цьому постійно тисне, то про яку любов може йти мова? Схоже ставлення і у покоління батьків, що родом з 1990-х, які самі мають певні психологічні травми від отриманої в свій час математичної освіти, практичне застосування якої не зрозуміле. Тому в суспільстві справді існує певна втома від математики й бажання відсунути її на другий план, замість того щоб переосмислити, як саме її варто викладати.

Математична освіта має сприйматись як частина державної політики

Прагнення спростити тести та відмовитись від математики більше схоже на популізм у чистому вигляді.

Для держави вкрай необхідно мати потужну математичну освіту, бо це інтелектуальній ресурс для розвитку багатьох сучасних галузей та технологій. Для держави, яка знаходиться у стані війни, потрібно багато людей, які володіють математичним апаратом. Хтось же повинен створювати дрони, інше озброєння, розв’язувати інженерні задачі! А якщо ви не маєте базових знань з математики, дуже багато ресурсу піде на помилки, які дуже дорого будуть коштувати нашій країні.

І тут є два шляхи: або дуже дорого купувати математичний ресурс в інших країнах (як правило авторитарних, як наприклад Китай або Іран), або створювати свій. Мені здається, відповідь очевидна.

Знаєте, якщо поїхати в США і подивитися на математичні департаменти в найкращих вишах, там всі китайці. Падіння інтересу до математики спостерігається і в Європі. В демократичних суспільствах у людей є вибір і вони часто роблять його на користь більш легкого шляху. Ніхто не хоче сидіти по 8 годин розв’язувати приклади, задачі, якщо в нього немає внутрішнього бажання, а держава не примушує, не виставляє певні бар’єри. І через це математичний потенціал демократичних країн слабшає і залежить від тоталітарних держав, а це є небезпечним.

Наші тести НТМ є стимулом до освоєння такого важливого предмету як математика. Так, це певною мірою і державний пріоритет: країна, яка воює та прагне технологічного розвитку, не може відмовитися від формування покоління людей із математичним, логічним і системним мисленням.

Чи є альтернатива соціальному примусу?

Можна, мабуть, завдяки спеціальним програмам, виявити тисячу дійсно талановитих дітей, але цього недостатньо. І якщо б ми не створювали певні умови, велика кількість дітей навіть б не знала, що їй подобається математика. Таке часто буває, коли дитина втягнулася в вивчення предмету через “не можу”.

Якщо ми подивимося на той же Китай, одна з причин високого рівня математики, якого вони досягають — дуже складний іспит Gaokao (математика є одним з трьох обов’язкових предметів поруч з англійською і китайською мовами — ред.).

Математична тривога і що з нею робити

В Україні ми мало говоримо про таке явище, як математична тривога – як це проявляється і як допомогти дитині її подолати?

Воно виникає в якийсь момент, коли дитина не може розв’язати задачу, чи відчуває шалений стрес, коли викликають до дошки - не може сконцентруватися, впоратися з завданням, через що виникає почуття: я не здібний, я не в стані опанувати цю математику. Хоча насправді це є не нездатність, а просто стрес, який відчуває учень. Якщо вчитель не може це вчасно помітити й допомогти дитині вийти з цього стану, ми отримаємо замкнене коло - коли наступного раз дитина побачить цей же приклад, вона знов не зможе його розв’язати.

Виявлення математичної тривоги і розвиток в наших школярах математичної резильєнтності (здатності позитивно адаптуватися, долати труднощі та зберігати мотивацію до вивчення математики, стикаючись із невдачами - ред.) це не лише про стійкість, а й про готовність конструктивно “боротися” з проблемою замість того, щоб її уникати. Тобто здатність до спротиву, усвідомлення, що я не розумію щось математичне не через відсутність здібностей, а просто наразі я в стресі і мені треба заспокоїтися. А вже потім поставити до задачі чи проблеми ще питання, знайти відповіді й не ставити на собі клеймо, що я математику не розумію, не можу і це не моє. Бо в нас, мені здається, половина учнів знаходяться в цьому циклі математичної тривоги. Через не вирішену задачу, незрозумілу теми, яку не повторили, починається шлях до нерозуміння інших тем і до цього штампика, що математика це не моє.

З вашого досвіду – у який саме період у учнів виникає математична тривога?

Прогалини у знаннях найчастіше виникають при переході з молодшої в середню школу. Виникають більш складні задачі, починається гонка тем, дуже мало часу виділяється на повторення, закріплення матеріалу. І ось тоді відбувається злам.

Я навіть по своїх дітях це бачила — коли з’являється ікс, переноси різних членів за знак рівності, певні маніпуляції з рівняннями та нерівностями, дуже багато дітей губляться. В програмах західних шкіл передбачено постійне циклічне повторення. Якщо на першому колі дитина щось не зрозуміла, то через певний час ця ж тема буде повторюватися, а потім закріплюватися, розглядатися з різних аспектів. І зрештою на виході середньостатистичний учень розуміє ці базові речі і вміє з ними працювати. Хоч і не знає багатьох тих тем, які наприклад опановують наші учні. А вони, на жаль, при цьому іноді не можуть розв’язати навіть базове рівняння, тому що його не закріпили, бо не встигли через більший обсяг матеріалу.

Про математику у власному житті і “Математику для життя”

Ваша любов з математикою виникла одразу чи це був непростий шлях?

Може в це складно повірити, але мій особистий шлях в математику був доволі важким. Хоча з дитинства батьки намагалися мене нею зацікавити, давали всілякі головоломки, захоплюючі задачки, книжки з популяризації математики. Це було моїм задоволенням і я вже тоді почала відчувати цей інтелектуальний драйв в загалом сірому радянському житті.

Але в мене була і дуже сильна математична тривога - це я вже зараз розумію. Щоб відчувати себе більш спокійно і впевнено, треба було дуже багато працювати. А ще мене бентежило оце нерозуміння - шкільний курс математики не пояснював, для чого вона потрібна.

Після школи я пішла на механіко-математичний факультет Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Спеціально обрала механіку, вивчала прикладну математику в гідромеханіці.

По закінченню вишу п’ять років викладала в Київському національному університеті будівництва і архітектури, а потім зайнялася наукою. В інституті механіки я написала кандидатську роботу по хвилях у твердих тілах. А потім мене запросили до Інституту математичних машин і систем, де звільнилася посада, пов’язана з математичним моделюванням гідродинамічних явищ. В тих відділах, куди я потрапила, займалися математичними моделями у співпраці з біологами, гідрологами, медиками. Тільки тоді я нарешті зрозуміла, для чого потрібна математика і побачила, що вона всюди, що живу природу та її дії можна прогнозувати і моделювати.

Моя докторська написана по внутрішнім хвильовим процесам, які відбуваються в океані. Це дуже красиво, естетично, цікаво! І власне я нарешті відповіла на оте головне своє питання, для чого потрібна математика. Почала займатися її популяризацією, писати про цю науку, говорити. А минулого року Міністерство освіти розпочало втілювати концепцію “Освіта для життя”, я є лідеркою математичної галузі і розділ “Математика для життя” мене дуже захоплює, тепер нарешті маю можливість надати відповідь українським школярам і показати, що математика всюди і вона може надати їм певні переваги, за допомогою знань зробити життя більш економічним, правильним, виваженим.

З 2019 року я керую лабораторією математичних наук Національного центру “Мала академія наук України”. Вже півтора роки після відкриття музею математики “Кубоїд” сюди на мої заняття приїздять тисячі вчителів і я навчаю їх математиці поза межами шкільної програми. Навчаю тому, як ми можемо за допомогою головоломок, нестандартних задач, математичних моделей, експонатів музею, поєднання математики і мистецтва, за допомогою дуже креативних творчих практик захопити математичними ідеями дітей.

Читаю лекції, провожу майстерки, потім ми йдемо в простір музею, працюємо з експонатами. Розбираємо, як через них або певну головоломку реалізується та чи інша математична ідея. А в кінці дня вчителі створюють власні проєкти, які можуть реалізувати в своїй школі.

У нас в Україні є дуже добрі математичні традиції і тепер важливо навчити наших дітей не просто запам’ятовувати формули, а мислити, ставити питання і моделювати ситуації.

Нагадаємо, раніше медіа НУШ розповідало “Чи потрібна математика митцям і гуманітаріям? Дорослі відповіді на дитячі запитання”.

Фото Катерини Терлецької